et tuning system, eller temperament, er en måde at definere individuelle pladser til musik fra sæt af alle mulige høje og lave toner. Vi taler ofte om pladser blot ved deres notenavne (B, F-KRP, d-KRP), men hvilke lyde gør disse noter faktisk? Vi kan besvare dette spørgsmål på en af to måder: 1) Vi kan beskrive forholdet mellem tonehøjder i brøker eller forhold, eller 2) Vi kan måle lydfrekvenserne i vibrationer pr. Begge tilgange er nyttige, men denne lektion vil primært fokusere på førstnævnte, så vi kan observere de matematiske mønstre, der findes i tuningssystemer.

opdeling af oktaven

langt størstedelen af vestlig musik bruger et tuningssystem med 12 toner inden for hver oktav. Oktavens 2 1-forhold gør dette til et matematisk intuitivt sted at starte. Der er andre tuningssystemer, der deler en oktav i et andet antal dele og stadig andre, der slet ikke er baseret på oktaven, men vi vil ikke undersøge disse systemer her.

hvis vi starter med oktaver defineret af et 2 1-forhold, og vi ønsker at opdele rummet mellem oktaverne i 12 dele, hvordan gør vi det?

tidlige tuningssystemer i vestlig musik delte oktaven i henhold til de enkle forhold, der findes i den harmoniske serie. Disse forhold blev observeret ved at sammenligne lydene produceret af objekter i forskellige størrelser, som at plukke eller hamre en strenglængde og derefter dele strengen i mindre dele for at sammenligne de resulterende frekvenser.

forhold for intervaller i den harmoniske serie
Interval forhold
Unison 1 1 = 1.000
Octave 2 1 = 2.000
perfekt femte 3 2 = 1.500
perfekt fjerde 4 3 = 1.333…
Major Tredje 5 4 = 1.250
Mindre Tredje 6 5 = 1.200

brug af forholdene i den harmoniske serie til tuning skaber smukt rene lydende intervaller, men der er et problem med dette system: forholdene stemmer ikke overens med hinanden. Denne korte video illustrerer dette problem og beskriver den moderne løsning på det: lige temperament.

YouTube

lige Temperament

tuningssystemet, der er standard i vestlig musik, er lige temperament. I dette system er oktaven opdelt i tolv lige store dele, hvilket gør intervallet mellem hvert halve trin identisk og gør det muligt at transponere musik frit mellem alle tolv taster. Tabellen nedenfor viser forholdet mellem alle intervaller i lige temperament. Det viser også cent, en måleenhed, der bruges til intervaller, der er defineret af det lige temperamentsystem: 100 cent er lig med et lige tempereret halvt trin.

intervaller i lige Temperament
Interval forhold cent
Unison (C til C) 2 0 / 12 = 1.000000 0
mindre sekund (C til C-kr / D♭) 2 1 / 12 = 2 12 = 1.059463 100
større sekund (C til D) 2 2 / 12 = 2 6 = 1.122462 200
mindre tredjedel (C til D-kr. / E♭) 2 3 / 12 = 2 4 = 1.189207 300
Major tredje (C til E) 2 4 / 12 = 2 3 = 1.259921 400
perfekt fjerde (C til F) 2 5 / 12 = 32 12 = 1.334840 500
Triton (C til f-kr / G♭) 2 6 / 12 = 2 = 1.414214 600
perfekt femte (C til G) 2 7 / 12 = 128 12 = 1.498307 700
mindre sjette (C til G-kr./a♭) 2 8 / 12 = 4 3 = 1.587401 800
Major sjette (C til A) 2 9 / 12 = 8 4 = 1.681793 900
mindre syvende (C til A L/B♭) 2 10 / 12 = 32 6 = 1.781797 1000
Major syvende (C til B) 2 11 / 12 = 2048 12 = 1.887749 1100
oktav (C til C en oktav højere) 2 12 / 12 = 2.000000 1200

selvom det ikke inkluderer de rene femtedele, fjerdedele og tredjedele, der findes i tidligere tuningssystemer, løser lige temperament de problemer, der findes i tuningssystemer baseret på forholdet mellem den harmoniske serie. Sammen med reference pitch A4 = 440h giver lige temperament en klar standard, hvormed alle instrumenter kan indstilles, hvilket er vigtigt, når mange instrumenter spiller sammen. I betragtning af disse fordele er det let at forstå, hvorfor lige temperament har været standardindstillingen vestlig musik i omkring 300 år. Tabellen nedenfor viser de lige temperamentstemninger for oktaven, der starter ved midten C (C4), inklusive A4 ved 440 gange.

frekvenser og bølgelængder af tonehøjder i samme Temperament
tonehøjde frekvens (HS) bølgelængde (cm)
C4 (midten C) 261.63 131.87
C-4 / D♭4 277.18 124.47
D4 293.66 117.48
D-4 / E♭4 311.13 110.89
E4 329.63 104.66
F4 349.23 98.79
F-4/g♭4 369.99 93.24
G4 392.00 88.01
g-4/A♭4 415.30 83.07
A4 (referencehøjde) 440.00 78.41
a list 4 / B♭4 466.16 74.01
B4 493.88 69.85
C5 523.25 65.93

andre Tuningssystemer

før lige temperament var der mange tuningssystemer baseret på forholdene i den harmoniske serie, hver med en unik løsning til opdeling af oktaven og regnskab for uoverensstemmelser mellem forholdene. Nogle af disse systemer er ret komplekse, og meget kan siges om deres fordele og ulemper. Af hensyn til klarhed og enkelhed vil vi kun se på et tidligere system: Pythagorean tuning.

Pythagoras Tuning

som mange tidlige tuningssystemer var Pythagoras tuning baseret på 3 2-forholdet mellem den perfekte femte og 4 3-forholdet mellem den perfekte fjerde. Pladser blev fundet ved at gå op (multiplicere med 3 2 eller 4 3 ) eller ned (multiplicere med 2 3 eller 3 4 ) med disse intervaller og justere med oktaver (multiplicere med 2 1 for at gå op en oktav og 1 2 for at gå ned en oktav) efter behov. Bemærk, hvordan hvert forhold kun involverer kræfter på 2 og 3. Bemærk også, hvordan disse tonehøjder sammenlignes med deres lige tempererede ækvivalenter, og hvordan forskellene fordeles symmetrisk.

Pythagoras Tuning
Interval Ratio cent forskel i cent fra lige Temperament
Unison (C til C) 1 1 = 1.000 0.00 0
mindre sekund (C til C-kr / D♭) 256 243 = 2 8 3 5 = 1.053 90.225 +9.775
større sekund (C til D) 9 8 = 3 2 2 3 = 1.125 203.910 -3.910
mindre tredjedel (C til D-kr. / E♭) 32 27 = 2 5 3 3 = 1.185 294.135 +5.865
Major tredje (C til E) 81 64 = 3 4 2 6 = 1.266 407.820 -7.820
perfekt fjerde (C til F) 4 3 = 2 2 3 = 1.333… 498.045 +1.955
Triton (C til G♭) 1024 729 = 2 10 3 6 = 1.405 588.270 +11.730
Triton (C til F♯) 729 512 = 3 6 2 9 = 1.424 611.730 -11.730
perfekt femte (C til G) 3 2 = 1.500 701.955 -1.955
mindre sjette (C til G-kr./a♭) 128 81 = 2 7 3 4 = 1.580 792.180 +7.820
Major sjette (C til A) 27 16 = 3 3 2 4 = 1.688 905.865 -5.865
mindre syvende (C til A L/B♭) 16 9 = 2 4 3 2 = 1.777… 996.090 +3.910
Major syvende (C til B) 243 128 = 3 5 2 7 = 1.898 1109.775 -9.775
oktav (C til C en oktav højere) 2 1 = 2.000 1200.00 0

uoverensstemmelsen mellem de to tritoneindstillinger kaldes Pythagoras komma. G-kurstuningen findes ved at multiplicere 256 243 (forholdet mellem det mindre sekund) med 4 3 (en stigende fjerde), hvilket resulterer i 1024 729 . F-Kurt-tuningen findes ved at gange 243 128 (forholdet mellem den største syvende) med 3 4 (en faldende fjerde), hvilket resulterer i 729 512 . I praksis kasseres en af disse to stemninger, hvilket skaber en femtedel, der er meget ude af melodi. Dette er kendt som ulven femte og findes mellem F og D, hvis g er kasseret, eller B og g er kasseret, hvis f er kasseret.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.