Ein Stimmsystem oder Temperament ist eine Möglichkeit, einzelne Tonhöhen für Musik aus der Menge aller möglichen hohen und tiefen Töne zu definieren. Wir sprechen oft über Tonhöhen einfach durch ihre Notennamen (B, F♯, D♭), aber welche Geräusche machen diese Noten eigentlich? Wir können diese Frage auf zwei Arten beantworten: 1) Wir können die Beziehungen zwischen Tonhöhen in Bruchteilen oder Verhältnissen beschreiben oder 2) wir können die Frequenzen von Klängen in Schwingungen pro Sekunde oder Hertz (Hz) messen. Beide Ansätze sind nützlich, aber diese Lektion konzentriert sich hauptsächlich auf erstere, damit wir die mathematischen Muster in Abstimmsystemen beobachten können.

Teilen der Oktave

Die überwiegende Mehrheit der westlichen Musik verwendet ein Stimmsystem von 12 Noten in jeder Oktave. Das 2 1-Verhältnis der Oktave macht dies zu einem mathematisch intuitiven Ausgangspunkt. Es gibt andere Stimmsysteme, die eine Oktave in eine andere Anzahl von Teilen unterteilen, und noch andere, die überhaupt nicht auf der Oktave basieren, aber wir werden diese Systeme hier nicht untersuchen.

Wenn wir mit Oktaven beginnen, die durch ein Verhältnis von 2: 1 definiert sind, und den Raum zwischen den Oktaven in 12 Teile aufteilen möchten, wie machen wir das?

Frühe Stimmsysteme in der westlichen Musik teilten die Oktave nach den einfachen Verhältnissen der harmonischen Reihe. Diese Verhältnisse wurden beobachtet, indem die von Objekten unterschiedlicher Größe erzeugten Geräusche verglichen wurden, wie Zupfen oder Hämmern einer Saitenlänge und anschließendes Teilen der Saite in kleinere Teile, um die resultierenden Frequenzen zu vergleichen.

Verhältnisse für Intervalle in der harmonischen Reihe
Intervall Verhältnis
Unisono 1 1 = 1.000
Oktave 2 1 = 2.000
Perfekte fünfte 3 2 = 1.500
Perfekte vierte 4 3 = 1.333…
Hauptdrittel 5 4 = 1.250
Kleine Terz 6 5 = 1.200

Die Verwendung der Verhältnisse der harmonischen Reihe zum Stimmen erzeugt wunderschön rein klingende Intervalle, aber es gibt ein Problem mit diesem System: Die Verhältnisse stimmen nicht überein. Dieses kurze Video veranschaulicht dieses Problem und beschreibt die moderne Lösung dafür: gleiches Temperament.

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Gleiches Temperament

Das Stimmsystem, das in der westlichen Musik Standard ist, ist gleiches Temperament. In diesem System ist die Oktave in zwölf gleiche Teile unterteilt, wodurch das Intervall zwischen den einzelnen Halbschritten identisch ist und die Musik frei zwischen allen zwölf Tasten transponiert werden kann. Die folgende Tabelle zeigt die Verhältnisse aller Intervalle zu gleichen Teilen. Es zeigt auch Cent, eine Maßeinheit für Intervalle, die durch das Equal Temperament System definiert ist: 100 Cent entspricht einem gleich temperierten Halbschritt.

Intervalle in gleichem Temperament
Intervall Verhältnis Cent
Unisono (C bis C) 2 0 / 12 = 1.000000 0
Kleine Sekunde (C bis C♯/D♭) 2 1 / 12 = 2 12 = 1.059463 100
Große Sekunde (C bis D) 2 2 / 12 = 2 6 = 1.122462 200
Kleine Terz (C bis D♯/E♭) 2 3 / 12 = 2 4 = 1.189207 300
Große Terz (C bis E) 2 4 / 12 = 2 3 = 1.259921 400
Perfekte vierte (C bis F) 2 5 / 12 = 32 12 = 1.334840 500
Triton (C bis F♯/G♭) 2 6 / 12 = 2 = 1.414214 600
Perfekte fünfte (C bis G) 2 7 / 12 = 128 12 = 1.498307 700
Kleine Sechste (C bis G♯/A♭) 2 8 / 12 = 4 3 = 1.587401 800
Große Sechste (C bis A) 2 9 / 12 = 8 4 = 1.681793 900
Kleine Septa (C bis A♯/B♭) 2 10 / 12 = 32 6 = 1.781797 1000
Große Septa (C bis B) 2 11 / 12 = 2048 12 = 1.887749 1100
Oktave (C bis C eine Oktave höher) 2 12 / 12 = 2.000000 1200

Obwohl es nicht die reinen Quinten, Quarten und Terzen enthält, die in früheren Stimmsystemen gefunden wurden, löst Equal Temperament die Probleme, die in Stimmsystemen gefunden werden, basierend auf den Verhältnissen der harmonischen Reihe. Zusammen mit der Referenztonhöhe A4 = 440Hz bietet Equal Temperament einen klaren Standard, nach dem alle Instrumente gestimmt werden können, was wichtig ist, wenn viele Instrumente zusammen spielen. Angesichts dieser Vorteile ist es leicht zu verstehen, warum gleiches Temperament seit etwa 300 Jahren der Standard in der westlichen Musik ist. Die folgende Tabelle zeigt die gleichen Temperament Stimmungen für die Oktave ab Mitte C (C4), einschließlich A4 bei 440 Hz.

Frequenzen und Wellenlängen der Tonhöhen in gleichem Temperament
Neigung Frequenz (Hz) Wellenlänge (cm)
C4 (Mitte C) 261.63 131.87
C♯4/D♭4 277.18 124.47
D4 293.66 117.48
D♯4/E♭4 311.13 110.89
E4 329.63 104.66
F4 349.23 98.79
F♯ 4/G♭4 369.99 93.24
G4 392.00 88.01
G♯4/A♭4 415.30 83.07
A4 (referenz pitch) 440.00 78.41
A♯4/B♭4 466.16 74.01
B4 493.88 69.85
C5 523.25 65.93

Andere Stimmsysteme

Vor Equal Temperament gab es viele Stimmsysteme, die auf den Verhältnissen der harmonischen Reihe basierten, jedes mit einer einzigartigen Lösung zur Aufteilung der Oktave und zur Berücksichtigung von Diskrepanzen zwischen den Verhältnissen. Einige dieser Systeme sind ziemlich komplex, und über ihre Vor- und Nachteile kann viel gesagt werden. Der Klarheit und Einfachheit halber betrachten wir nur ein früheres System: die pythagoreische Abstimmung.

Pythagoreische Abstimmung

Wie viele frühe Abstimmsysteme basierte die pythagoreische Abstimmung auf dem 3 2 -Verhältnis der perfekten Quinte und dem 4 3-Verhältnis der perfekten vierten. Die Tonhöhen wurden gefunden, indem man mit diesen Intervallen nach oben (multipliziert mit 3 2 oder 4 3) oder unten (multipliziert mit 2 3 oder 3 4) ging und sich nach Bedarf um Oktaven anpasste (multipliziert mit 2 1, um eine Oktave nach oben und 1 2, um eine Oktave nach unten zu gehen). Beachten Sie, dass jedes Verhältnis nur Potenzen von 2 und 3 beinhaltet. Beachten Sie auch, wie diese Tonhöhen mit ihren gleich temperierten Äquivalenten verglichen werden und wie die Unterschiede symmetrisch verteilt sind.

Pythagoreische Stimmung
Intervall Verhältnis Cent Unterschied in Cent von gleichem Wert
Unisono (C bis C) 1 1 = 1.000 0.00 0
Kleine Sekunde (C bis C♯/D♭) 256 243 = 2 8 3 5 = 1.053 90.225 +9.775
Große Sekunde (C bis D) 9 8 = 3 2 2 3 = 1.125 203.910 -3.910
Kleine Terz (C bis D♯/E♭) 32 27 = 2 5 3 3 = 1.185 294.135 +5.865
Große Terz (C bis E) 81 64 = 3 4 2 6 = 1.266 407.820 -7.820
Perfekte vierte (C bis F) 4 3 = 2 2 3 = 1.333… 498.045 +1.955
Triton (C bis G♭) 1024 729 = 2 10 3 6 = 1.405 588.270 +11.730
Triton (C bis F♯) 729 512 = 3 6 2 9 = 1.424 611.730 -11.730
Perfekte fünfte (C bis G) 3 2 = 1.500 701.955 -1.955
Kleine Sechste (C bis G♯/A♭) 128 81 = 2 7 3 4 = 1.580 792.180 +7.820
Große Sechste (C bis A) 27 16 = 3 3 2 4 = 1.688 905.865 -5.865
Kleine Septa (C bis A♯/B♭) 16 9 = 2 4 3 2 = 1.777… 996.090 +3.910
Große Septa (C bis B) 243 128 = 3 5 2 7 = 1.898 1109.775 -9.775
Oktave (C bis C eine Oktave höher) 2 1 = 2.000 1200.00 0

Die Diskrepanz zwischen den beiden Tritonstimmungen wird als pythagoreisches Komma bezeichnet. Die G♭-Abstimmung wird durch Multiplikation von 256 243 (das Verhältnis der kleinen Sekunde) mit 4 3 (eine aufsteigende Quarte) gefunden, was zu 1024 729 führt . Die F♯-Abstimmung wird durch Multiplikation von 243 128 (das Verhältnis der großen Septa) mit 3 4 (einer absteigenden Quarte) ermittelt, was zu 729 512 führt . In der Praxis wird eine dieser beiden Stimmungen verworfen, wodurch eine Quinte entsteht, die sehr verstimmt ist. Dies wird als Wolfsfünfte bezeichnet und befindet sich zwischen F♯ und D♭, wenn G♭ verworfen wird, oder B und G♭, wenn F♯ verworfen wird.

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