Un sistema de afinación, o temperamento, es una forma de definir tonos individuales para la música a partir del conjunto de todos los tonos altos y bajos posibles. A menudo hablamos de notas simplemente por el nombre de sus notas (Si, Fa F, Re D), pero ¿qué sonidos hacen realmente estas notas? Podemos responder a esta pregunta de dos maneras: 1) podemos describir las relaciones entre los tonos en fracciones o proporciones, o 2) podemos medir las frecuencias de los sonidos en vibraciones por segundo, o Hertz (Hz). Ambos enfoques son útiles, pero esta lección se centrará principalmente en el primero para que podamos observar los patrones matemáticos que se encuentran en los sistemas de afinación.

Dividir la octava

La gran mayoría de la música occidental utiliza un sistema de afinación de 12 notas dentro de cada octava. La relación 21 de la octava hace de este un lugar matemáticamente intuitivo para comenzar. Hay otros sistemas de afinación que dividen una octava en un número diferente de partes y otros que no se basan en la octava en absoluto, pero no exploraremos estos sistemas aquí.

Si empezamos con octavas definidas por una relación de 21 y queremos dividir el espacio entre las octavas en 12 partes, ¿cómo lo hacemos?

Los primeros sistemas de afinación en la música occidental dividían la octava de acuerdo con las proporciones simples que se encuentran en las series armónicas. Estas proporciones se observaron comparando los sonidos producidos por objetos de diferentes tamaños, como tocar o martillar una longitud de cuerda y luego dividir la cuerda en partes más pequeñas para comparar las frecuencias resultantes.

las Proporciones de los Intervalos en la Serie Armónica
Intervalo Relación
Unison 1 1 = 1.000
Octava 2 1 = 2.000
Perfecto Quinto 3 2 = 1.500
Perfecto Cuarta 4 3 = 1.333…
Tercera Mayor 5 4 = 1.250
Tercera Menor 6 5 = 1.200

El uso de las relaciones de la serie armónica para la afinación crea intervalos de sonido maravillosamente puros, pero hay un problema con este sistema: las relaciones no se alinean entre sí. Este breve video ilustra este problema y describe la solución moderna para el mismo: el temperamento igual.

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Temperamento igual

El sistema de afinación estándar en la música occidental es el temperamento igual. En este sistema, la octava se divide en doce partes iguales, haciendo que el intervalo entre cada medio paso sea idéntico y permitiendo que la música se transponga libremente entre las doce teclas. La siguiente tabla muestra las proporciones de todos los intervalos en temperamento igual. También muestra centavos, una unidad de medida utilizada para intervalos que se define por el sistema de temperamento igual: 100 centavos es igual a un medio paso igualmente templado.

Intervalos en Temperamento Igual
Intervalo Relación Centavos
Unison (C a C) 2 0 / 12 = 1.000000 0
Segunda menor (C a C♯/D♭) 2 1 / 12 = 2 12 = 1.059463 100
segunda Mayor (C a D) 2 2 / 12 = 2 6 = 1.122462 200
tercera Menor (C a D♯/E♭) 2 3 / 12 = 2 4 = 1.189207 300
Tercera mayor (C a E) 2 4 / 12 = 2 3 = 1.259921 400
Cuarto perfecto (Do a Fa) 2 5 / 12 = 32 12 = 1.334840 500
Tritono (C a F F / G♭) 2 6 / 12 = 2 = 1.414214 600
Quinta perfecta (Do a Sol) 2 7 / 12 = 128 12 = 1.498307 700
Sexta menor (C a G G / A♭) 2 8 / 12 = 4 3 = 1.587401 800
sexta Mayor (C a) 2 9 / 12 = 8 4 = 1.681793 900
Menor séptima (C a Un♯/B♭) 2 10 / 12 = 32 6 = 1.781797 1000
Principales séptimo (C a B) 2 11 / 12 = 2048 12 = 1.887749 1100
Octava (C a C una octava más alta) 2 12 / 12 = 2.000000 1200

Aunque no incluye las quintas, cuartas y terceras puras que se encuentran en sistemas de afinación anteriores, el temperamento igual resuelve los problemas que se encuentran en los sistemas de afinación basados en las proporciones de la serie armónica. Junto con el tono de referencia A4 = 440 Hz, el temperamento igual proporciona un estándar claro por el cual todos los instrumentos se pueden afinar, lo cual es esencial cuando muchos instrumentos tocan juntos. Dadas estas ventajas, es fácil entender por qué el temperamento igual ha sido la música occidental de afinación estándar durante aproximadamente 300 años. La siguiente tabla muestra las afinaciones de temperamento iguales para la octava a partir de Do medio (C4), incluida la A4 a 440 Hz.

Longitudes de onda y Frecuencias de Tonos en el Temperamento Igual
Pitch Frecuencia (Hz) longitud de Onda (cm)
C4 (C central) 261.63 131.87
C♯4/D♭4 277.18 124.47
D4 293.66 117.48
D♯4/E♭4 311.13 110.89
E4 329.63 104.66
F4 349.23 98.79
F♯4/G♭4 369.99 93.24
G4 392.00 88.01
G♯4/Un♭4 415.30 83.07
A4 (tono de referencia) 440.00 78.41
Un♯4/B♭4 466.16 74.01
B4 493.88 69.85
C5 523.25 65.93

Otros Sistemas de afinación

Antes del temperamento igual, había muchos sistemas de afinación basados en las relaciones de la serie armónica, cada uno con una solución única para dividir la octava y tener en cuenta las discrepancias entre las relaciones. Algunos de estos sistemas son bastante complejos, y se puede decir mucho sobre sus ventajas y desventajas. En aras de la claridad y la simplicidad, veremos solo un sistema anterior: la afinación pitagórica.

Afinación pitagórica

Al igual que muchos de los primeros sistemas de afinación, la afinación pitagórica se basó en la relación de 3 2 de la quinta perfecta y la relación de 4 3 de la cuarta perfecta. Los tonos se encontraron subiendo (multiplicando por 3 2 o 4 3 ) o bajando (multiplicando por 2 3 o 3 4) por estos intervalos y ajustando por octavas (multiplicando por 2 1 para subir una octava y 1 2 para bajar una octava) según sea necesario. Observe cómo cada relación involucra solo potencias de 2 y 3. Observe también cómo se comparan estos tonos con sus equivalentes igualmente templados, y cómo las diferencias se distribuyen simétricamente.

Afinación Pitagórica
Intervalo Relación Centavos Diferencia en Centavos de Temperamento Igual
Unison (C a C) 1 1 = 1.000 0.00 0
segunda Menor (C a C♯/D♭) 256 243 = 2 8 3 5 = 1.053 90.225 +9.775
segunda Mayor (C a D) 9 8 = 3 2 2 3 = 1.125 203.910 -3.910
tercera Menor (C a D♯/E♭) 32 27 = 2 5 3 3 = 1.185 294.135 +5.865
tercera Mayor (C a E) 81 64 = 3 4 2 6 = 1.266 407.820 -7.820
Perfecto cuarta (C a F) 4 3 = 2 2 3 = 1.333… 498.045 +1.955
Tritone (de la C a la G♭) 1024 729 = 2 10 3 6 = 1.405 588.270 +11.730
Tritone (C a F♯) 729 512 = 3 6 2 9 = 1.424 611.730 -11.730
Perfecto quinto (de la C a la G) 3 2 = 1.500 701.955 -1.955
Menor de la sexta (de la C a la G♯/A♭) 128 81 = 2 7 3 4 = 1.580 792.180 +7.820
sexta Mayor (C a) 27 16 = 3 3 2 4 = 1.688 905.865 -5.865
Menor séptima (C a Un♯/B♭) 16 9 = 2 4 3 2 = 1.777… 996.090 +3.910
Principales séptimo (C a B) 243 128 = 3 5 2 7 = 1.898 1109.775 -9.775
Octava (C a C una octava más alta) 2 1 = 2.000 1200.00 0

La discrepancia entre los dos tritone afinaciones se llama la coma Pitagórica. La afinación de Sol se encuentra multiplicando 256 243 (la proporción del segundo menor) por 4 3 (un cuarto ascendente), lo que resulta en 1024 729 . La afinación de Fa se encuentra multiplicando 243 128 (la proporción de la séptima mayor) por 3 4 (una cuarta descendente), lo que resulta en 729 512 . En la práctica, una de estas dos afinaciones se descarta, creando una quinta que está muy desafinada. Esto se conoce como el quinto lobo y se encuentra entre F F y D D si G discarded se descarta, o B y G if si F F se descarta.

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