Un sistema di accordatura, o temperamento, è un modo per definire le singole altezze per la musica dall’insieme di tutti i possibili toni alti e bassi. Spesso parliamo di piazzole semplicemente con i loro nomi di note (B, F♯, D D), ma quali suoni fanno effettivamente queste note? Possiamo rispondere a questa domanda in due modi: 1) possiamo descrivere le relazioni tra altezze in frazioni o rapporti, o 2) possiamo misurare le frequenze dei suoni in vibrazioni al secondo, o Hertz (Hz). Entrambi gli approcci sono utili, ma questa lezione si concentrerà principalmente sul primo in modo da poter osservare i modelli matematici trovati nei sistemi di sintonizzazione.

Dividendo l’ottava

La stragrande maggioranza della musica occidentale utilizza un sistema di accordatura di 12 note all’interno di ogni ottava. Il rapporto 2 1 dell’ottava rende questo un punto di partenza matematicamente intuitivo. Ci sono altri sistemi di accordatura che dividono un’ottava in un diverso numero di parti e altri ancora che non si basano affatto sull’ottava, ma non esploreremo questi sistemi qui.

Se iniziamo con ottave definite da un rapporto 2 1 e vogliamo dividere lo spazio tra le ottave in 12 parti, come facciamo?

I primi sistemi di accordatura nella musica occidentale dividevano l’ottava in base ai rapporti semplici trovati nella serie armonica. Questi rapporti sono stati osservati confrontando i suoni prodotti da oggetti di diverse dimensioni, come pizzicare o martellare una lunghezza di corda e quindi dividere la corda in parti più piccole per confrontare le frequenze risultanti.

Rapporti per gli Intervalli di Serie Armonica
Intervallo > Rapporto
Unisono 1 1 = 1.000
Ottava 2 1 = 2.000
Quinta Perfetta 3 2 = 1.500
Ottimo Quarto 4 3 = 1.333…
Maggiore Terzo 5 4 = 1.250
Terzo Minore 6 5 = 1.200

L’uso dei rapporti della serie armonica per la messa a punto crea intervalli di suono meravigliosamente puri, ma c’è un problema con questo sistema: i rapporti non si allineano tra loro. Questo breve video illustra questo problema e descrive la soluzione moderna ad esso: temperamento equabile.

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Temperamento uguale

Il sistema di accordatura che è standard nella musica occidentale è temperamento uguale. In questo sistema, l’ottava è divisa in dodici parti uguali, rendendo identico l’intervallo tra ogni mezzo passo e permettendo alla musica di essere trasposta liberamente tra tutti i dodici tasti. La tabella seguente mostra i rapporti di tutti gli intervalli in temperamento equabile. Mostra anche centesimi, un’unità di misura utilizzata per gli intervalli che è definita dal sistema di temperamento equabile: 100 centesimi è uguale a un mezzo passo ugualmente temperato.

Intervalli, nel Temperamento equabile
Intervallo > Rapporto Centesimi
l’Unisono (C a C) 2 0 / 12 = 1.000000 0
Seconda minore (C a C♯/D♭) 2 1 / 12 = 2 12 = 1.059463 100
seconda Maggiore (C a D) 2 2 / 12 = 2 6 = 1.122462 200
terza Minore (C a D♯/E♭) 2 3 / 12 = 2 4 = 1.189207 300
la terza Maggiore (da C a E) 2 4 / 12 = 2 3 = 1.259921 400
ottimo quarto (da C a F) 2 5 / 12 = 32 12 = 1.334840 500
Tritone (da C a F♯/G♭) 2 6 / 12 = 2 = 1.414214 600
quinta giusta (C a G) 2 7 / 12 = 128 12 = 1.498307 700
sesta Minore (C a G♯/A♭) 2 8 / 12 = 4 3 = 1.587401 800
sesta Maggiore (C) 2 9 / 12 = 8 4 = 1.681793 900
settima Minore (C♯/B♭) 2 10 / 12 = 32 6 = 1.781797 1000
settima Maggiore (da C a B) 2 11 / 12 = 2048 12 = 1.887749 1100
Ottava (C a C un’ottava più in alto) 2 12 / 12 = 2.000000 1200

Sebbene non includa le quinte, le quarte e le terze pure presenti nei sistemi di accordatura precedenti, il temperamento equabile risolve i problemi riscontrati nei sistemi di accordatura in base ai rapporti della serie armonica. Insieme al passo di riferimento A4 = 440Hz, il temperamento equabile fornisce uno standard chiaro con cui tutti gli strumenti possono essere accordati, il che è essenziale quando molti strumenti suonano insieme. Dati questi vantaggi, è facile capire perché il temperamento equabile è stato l’accordatura standard della musica occidentale per circa 300 anni. La tabella seguente mostra le accordature di temperamento equabile per l’ottava a partire dal do medio (C4), incluso A4 a 440Hz.

Frequenze e Lunghezze d’onda di Piazzole, nel Temperamento equabile
Passo Frequenza (Hz) lunghezza d’Onda (cm)
C4 (C medio) 261.63 131.87
C♯4/D♭4 277.18 124.47
D4 293.66 117.48
D♯4/E♭4 311.13 110.89
E4 329.63 104.66
F4 349.23 98.79
F♯4/G♭4 369.99 93.24
G4 392.00 88.01
G♯4/A♭4 415.30 83.07
A4 (tono di riferimento) 440.00 78.41
Un♯4/B♭4 466.16 74.01
B4 493.88 69.85
C5 523.25 65.93

Altri Sistemi di Accordatura

Prima di temperamento equabile, ci sono stati molti sistemi di accordatura basa sui rapporti di serie armonica, ciascuno con una soluzione unica per la divisione dell’ottava e contabili per le discrepanze tra i rapporti. Alcuni di questi sistemi sono piuttosto complessi e si può dire molto sui loro vantaggi e svantaggi. Per motivi di chiarezza e semplicità, esamineremo solo un sistema precedente: la messa a punto pitagorica.

Pitagora Tuning

Come molti primi sistemi di sintonizzazione, Pitagora tuning è stato basato sul 3 2 rapporto del perfetto quinto e il 4 3 rapporto del perfetto quarto. Le altezze sono state trovate salendo (moltiplicando per 3 2 o 4 3 ) o giù (moltiplicando per 2 3 o 3 4) da questi intervalli e regolando per ottave (moltiplicando per 2 1 per salire un’ottava e 1 2 per scendere un’ottava) secondo necessità. Si noti come ogni rapporto coinvolge solo potenze di 2 e 3. Si noti inoltre come queste altezze si confrontano con i loro equivalenti ugualmente temperati e come le differenze sono distribuite simmetricamente.

Pitagorico
Intervallo > Rapporto Centesimi Differenza in Centesimi dal Temperamento equabile
l’Unisono (C a C) 1 1 = 1.000 0.00 0
seconda Minore (C a C♯/D♭) 256 243 = 2 8 3 5 = 1.053 90.225 +9.775
seconda Maggiore (C a D) 9 8 = 3 2 2 3 = 1.125 203.910 -3.910
terza Minore (C a D♯/E♭) 32 27 = 2 5 3 3 = 1.185 294.135 +5.865
la terza Maggiore (da C a E) 81 64 = 3 4 2 6 = 1.266 407.820 -7.820
ottimo quarto (da C a F) 4 3 = 2 2 3 = 1.333… 498.045 +1.955
Tritone (C a G♭) 1024 729 = 2 10 3 6 = 1.405 588.270 +11.730
Tritone (da C a F♯) 729 512 = 3 6 2 9 = 1.424 611.730 -11.730
quinta giusta (C a G) 3 2 = 1.500 701.955 -1.955
sesta Minore (C a G♯/A♭) 128 81 = 2 7 3 4 = 1.580 792.180 +7.820
sesta Maggiore (C) 27 16 = 3 3 2 4 = 1.688 905.865 -5.865
settima Minore (C♯/B♭) 16 9 = 2 4 3 2 = 1.777… 996.090 +3.910
settima Maggiore (da C a B) 243 128 = 3 5 2 7 = 1.898 1109.775 -9.775
Ottava (C a C un’ottava più in alto) 2 1 = 2.000 1200.00 0

La discrepanza tra i due tritone accordature è chiamato il comma Pitagorico. L’accordatura G♭ si trova moltiplicando 256 243 (il rapporto del secondo minore) per 4 3 (un quarto ascendente) con conseguente 1024 729 . L’accordatura di F is si trova moltiplicando 243 128 (il rapporto tra la settima maggiore) per 3 4 (una quarta discendente) risultando in 729 512 . In pratica, una di queste due accordature viene scartata, creando una quinta che è molto stonata. Questo è noto come quinto lupo e si trova tra F♯ e D if se G is viene scartato, o B e G if se F is viene scartato.

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