ett stämningssystem, eller temperament, är ett sätt att definiera enskilda platser för musik från uppsättningen av alla möjliga höga och låga toner. Vi pratar ofta om tonhöjder helt enkelt genom deras notnamn (B, F exportorienterade, d exportorienterade), men vilka ljud gör dessa anteckningar faktiskt? Vi kan svara på denna fråga på ett av två sätt: 1) Vi kan beskriva förhållandena mellan tonhöjder i fraktioner eller förhållanden, eller 2) Vi kan mäta frekvenserna av ljud i vibrationer per sekund, eller Hertz (Hz). Båda metoderna är användbara, men den här lektionen kommer främst att fokusera på den förra så att vi kan observera de matematiska mönster som finns i avstämningssystem.

dela oktaven

den stora majoriteten av västerländsk musik använder ett avstämningssystem med 12 toner inom varje oktav. 2 1-förhållandet mellan oktaven gör detta till ett matematiskt intuitivt ställe att börja. Det finns andra avstämningssystem som delar en oktav i ett annat antal delar och fortfarande andra som inte är baserade på oktaven alls, men vi kommer inte att utforska dessa system här.

om vi börjar med oktaver definierade av ett 2 1-förhållande och vi vill dela utrymmet mellan oktaverna i 12-delar, Hur gör vi det här?

tidiga stämningssystem i västerländsk musik delade oktaven enligt de enkla förhållandena som finns i den harmoniska serien. Dessa förhållanden observerades genom att jämföra ljuden som produceras av föremål av olika storlekar, som att plocka eller hamra en stränglängd och sedan dela strängen i mindre delar för att jämföra de resulterande frekvenserna.

förhållanden för intervaller i den harmoniska serien
intervall förhållande
Unison 1 1 = 1.000
oktav 2 1 = 2.000
perfekt femte 3 2 = 1.500
perfekt fjärde 4 3 = 1.333…
Större Tredje 5 4 = 1.250
Mindre Tredje 6 5 = 1.200

att använda förhållandena i den harmoniska serien för avstämning skapar vackert rena ljudande intervaller, men det finns ett problem med detta system: förhållandena stämmer inte överens med varandra. Denna korta video illustrerar detta problem och beskriver den moderna lösningen på det: lika temperament.

YouTube

lika Temperament

stämningssystemet som är standard i västerländsk musik är lika temperament. I detta system är oktaven uppdelad i tolv lika delar, vilket gör intervallet mellan varje halvsteg identiskt och låter musik transponeras fritt mellan alla tolv tangenterna. Tabellen nedan visar förhållandena för alla intervall i lika temperament. Det visar också cent, en måttenhet som används för intervaller som definieras av det lika temperamentsystemet: 100 cent är lika med ett lika tempererat halvsteg.

intervaller i lika Temperament
intervall förhållande cent
Unison (C till C) 2 0 / 12 = 1.000000 0
mindre sekund (C till C♭) 2 1 / 12 = 2 12 = 1.059463 100
Major second (C till D) 2 2 / 12 = 2 6 = 1.122462 200
mindre tredje (C-D♭) 2 3 / 12 = 2 4 = 1.189207 300
större tredje (C till E) 2 4 / 12 = 2 3 = 1.259921 400
perfekt fjärde (C till F) 2 5 / 12 = 32 12 = 1.334840 500
Tritone (C till f♭) 2 6 / 12 = 2 = 1.414214 600
perfekt femte (C till G) 2 7 / 12 = 128 12 = 1.498307 700
mindre sjätte (C till G♭) 2 8 / 12 = 4 3 = 1.587401 800
Major sjätte (C till A) 2 9 / 12 = 8 4 = 1.681793 900
mindre sjunde (C till A♭) 2 10 / 12 = 32 6 = 1.781797 1000
Major sjunde (C till B) 2 11 / 12 = 2048 12 = 1.887749 1100
oktav (C till C en oktav högre) 2 12 / 12 = 2.000000 1200

även om det inte inkluderar de rena femtedelar, fjärdedelar och tredjedelar som finns i tidigare avstämningssystem, löser lika temperament de problem som finns i avstämningssystem baserat på förhållandena i den harmoniska serien. Tillsammans med referenshöjden A4 = 440Hz ger equal temperament en tydlig standard genom vilken alla instrument kan ställas in, vilket är viktigt när många instrument spelar tillsammans. Med tanke på dessa fördelar är det lätt att förstå varför lika temperament har varit standardinställningen västerländsk musik i cirka 300 år. Tabellen nedan visar de lika temperamentstämningarna för oktaven som börjar vid mitten C (C4), inklusive A4 vid 440Hz.

frekvenser och våglängder av platser i lika Temperament
tonhöjd Frekvens (Hz) våglängd (cm)
C4 (mitten C) 261.63 131.87
C VIII 4/D♭4 277.18 124.47
D4 293.66 117.48
D VIII 4 / E♭4 311.13 110.89
E4 329.63 104.66
F4 349.23 98.79
f 0/4/g♭4 369.99 93.24
G4 392.00 88.01
g II. 4 / A♭4 415.30 83.07
A4 (referens pitch) 440.00 78.41
a 4 / B♭4 466.16 74.01
B4 493.88 69.85
C5 523.25 65.93

andra avstämningssystem

före lika temperament fanns det många avstämningssystem baserade på förhållandena i den harmoniska serien, var och en med en unik lösning för att dela upp oktaven och redovisa skillnader mellan förhållandena. Några av dessa system är ganska komplexa, och mycket kan sägas om deras fördelar och nackdelar. För tydlighetens och enkelhetens skull kommer vi bara att titta på ett tidigare system: Pythagorean tuning.

Pythagorean Tuning

liksom många tidiga tuning system, Pythagorean tuning baserades på 3 2 Förhållandet mellan den perfekta femte och 4 3 förhållandet mellan den perfekta fjärde. Platser hittades genom att gå upp (multiplicera med 3 2 eller 4 3 ) eller ner (multiplicera med 2 3 eller 3 4 ) med dessa intervall och justera med oktaver (multiplicera med 2 1 för att gå upp en oktav och 1 2 för att gå ner en oktav) efter behov. Lägg märke till hur varje förhållande innebär endast befogenheter 2 och 3. Lägg också märke till hur dessa platser jämför med deras lika tempererade ekvivalenter, och hur skillnaderna fördelas symmetriskt.

Pythagoras Tuning
intervall förhållande cent skillnad i cent från lika Temperament
Unison (C till C) 1 1 = 1.000 0.00 0
mindre sekund (C till C♭) 256 243 = 2 8 3 5 = 1.053 90.225 +9.775
Major second (C till D) 9 8 = 3 2 2 3 = 1.125 203.910 -3.910
mindre tredje (C-D♭) 32 27 = 2 5 3 3 = 1.185 294.135 +5.865
större tredje (C till E) 81 64 = 3 4 2 6 = 1.266 407.820 -7.820
perfekt fjärde (C till F) 4 3 = 2 2 3 = 1.333… 498.045 +1.955
Tritone (C till G♭) 1024 729 = 2 10 3 6 = 1.405 588.270 +11.730
Tritone (C till F♯) 729 512 = 3 6 2 9 = 1.424 611.730 -11.730
perfekt femte (C till G) 3 2 = 1.500 701.955 -1.955
mindre sjätte (C till G♭) 128 81 = 2 7 3 4 = 1.580 792.180 +7.820
Major sjätte (C till A) 27 16 = 3 3 2 4 = 1.688 905.865 -5.865
mindre sjunde (C till A♭) 16 9 = 2 4 3 2 = 1.777… 996.090 +3.910
Major sjunde (C till B) 243 128 = 3 5 2 7 = 1.898 1109.775 -9.775
oktav (C till C en oktav högre) 2 1 = 2.000 1200.00 0

skillnaden mellan de två tritonstämningarna kallas Pythagoras komma. G-tuning av en sekund hittas genom att multiplicera 256 243 (förhållandet mellan den mindre sekunden) med 4 3 (en stigande fjärde) vilket resulterar i 1024 729 . F-justeringen av f-talet hittas genom att multiplicera 243 128 (förhållandet mellan den stora sjunde) med 3 4 (en fallande fjärde) vilket resulterar i 729 512 . I praktiken kasseras en av dessa två stämningar, vilket skapar en femte som är mycket ostämd. Detta är känt som vargen femte och finns mellan F eller d om G eller d om f eller d om g kasseras.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.